万有引力定律的推导过程

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万有引力定律的推导过程

万有引力定律是一个描述质点之间相互作用力的定律,可以表示为:

$F=G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

其中,$F$为质点间的引力,$G$为万有引力常量,$m_1$和$m_2$分别为两个质点的质量,$r$为它们之间的距离。

首先我们可以将质点2视为在质点1周围运动的小物体,质点1在它的位置上产生一个引力场,在这个引力场里质点2会受到一个向质点1的引力。

现在我们把质点2视为一个体积很小、质量很小的物体,并假设它与质点1之间的距离是从$r$到$r+dr$。因为体积很小,我们可以把它视为一个粒子,并且假定它在$r$点的质量是$dm_2$。

我们可以用牛顿第二定律 $F=ma$ 来表示质点2所受到的拉力:

$F=ma=m_2a=\frac{Gm_1dm_2}{r^2}$

为了把这个方程用$r$和其他物理量表示出来,我们可以用牛顿运动定律来计算$a$:

$F=ma=m_2a=\frac{d^2r}{dt^2}m_2$

把上面两个式子相等:

$\frac{d^2r}{dt^2}\cdot m_2=\frac{Gm_1dm_2}{r^2}$

现在我们可以把$m_2$移到右边,并对方程两边取积分:

$\int_{r_0}^{r} \frac{d^2r}{dt^2}\cdot dr=\int_{m_{2}}^{m_{2}+dm_{2}} \frac{Gm_1}{r^2}\cdot dm_{2}$

对右边的积分求解,可得:

$-\frac{Gm_1}{r}+\frac{Gm_1}{r+dr}$

将此代入左边,得到:

$v^2-v_0^2=2\int_{r_0}^{r} \frac{Gm_1}{r^2}\cdot dr$

由于$v_0=0$,我们可以简化为:

$v=\sqrt{\frac{2Gm_1}{r}}$

于是我们就得到了质点2沿椭圆轨道运动时的速度。引力定律表明,质点间的引力与它们的质量成正比,与它们之间距离的平方成反比。这个定律对描述天体之间的运动至关重要,例如星系的运动和引力波的发射。

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